Совершенно иную концепцию изучения реального мира и отношения математики к реальности развил Аристотель, хотя он и был учеником Платона и много у Платона почерпнул. Аристотель критиковал Платона за идею о двух различных мирах и за сведение естественных наук к математике. Аристотель был физиком в буквальном смысле этого слова. В материальных телах он видел первичную субстанцию и источник реальности. По Аристотелю, физика и наука в целом должны заниматься изучением физического мира и извлекать истину из этих исследований. Подлинное знание достигается на основе чувственного опыта с помощью интуиции и абстрагирования. Абстракции не существуют независимо от человеческого разума.
Аристотель неоднократно подчеркивал, что универсалии — общие понятия — абстрагированы от реальных вещей. Для получения этих абстракций «мы начинаем с вещей познаваемых и наблюдаемых и переходим к вещам менее наглядным, которые по своей природе более понятны и более познаваемы». Аристотель брал наглядные, чувственные качества вещей, выхолащивал их и возводил до независимых, абстрактных понятий.
Какое место занимала математика в развитой Аристотелем схеме вещей? Основополагающими в схеме Аристотеля были физические науки. Математике отводилась вспомогательная роль в изучении природы при описании таких внешних свойств, как форма и размеры. Кроме того, математика помогала объяснять причины тех явлений, которые можно наблюдать в материальном мире. Так, геометрия может помочь в объяснении наблюдений из области оптики и астрономии, а арифметические пропорции могут служить основой гармонии. Но математические понятия и принципы заведомо являются абстракциями, корни которых уходят в реальный мир. Поскольку же они абстрагированы из реального мира, то они применимы к нему. Человеческий разум обладает особой способностью приходить к таким идеализированным свойствам физических объектов, отправляясь от ощущений, и создаваемые им абстракции с необходимостью должны быть истинными.
Даже нашего беглого обзора взглядов тех философов, которые сформировали духовный мир греков, достаточно, чтобы понять главное: все они подчеркивали необходимость изучения природы для понимания и оценки лежащей в основе всего сущего реальности. Кроме того, со времен пифагорейцев почти все философы утверждали, что природа устроена на математических основах. К концу классического периода окончательно сформировалось учение о природе, основанной на математических принципах, и начался планомерный поиск математических законов. Хотя это учение отнюдь не предопределило все последующее развитие математики, получив достаточно широкое распространение, оно оказало влияние на величайших математиков, в том числе и на тех, кто непосредственно не разделял его. Из всех достижений умозрительных построений древних греков подлинно новаторской была концепция космоса, в котором все подчинено математическим законам, постигаемым человеческим разумом.
Греки преисполнились решимости доискаться до истин и, в частности до истин о математических основах природы. Как следует приступить к поиску истин и как при этом гарантировать, что поиск действительно приводит к истинам? Греки предложили «план» такого поиска. Хотя он создавался постепенно на протяжении нескольких веков (VI-III вв. до н.э.) и историки науки расходятся во мнениях относительно того, когда и кем этот план был впервые задуман, к III в. до н.э. «план поиска истин» был доведен до совершенства.
Математика в широком смысле слова, понимаемая как всевозможное использование чисел и геометрических фигур, родилась за несколько тысячелетий до того, как ей занялись греки классического периода. Она включает в себя достижения многих исчезнувших цивилизаций, среди которых наиболее выдающуюся роль сыграли культуры древнего Египта и Вавилона. Но во всех древних цивилизациях, за исключением греческой, математика еще не сформировалась в отдельную науку, у нее не было своей особой методологии, и она не ставила перед собой иных целей, кроме решения самых непосредственных, практических задач. Математика была своего рода инструментом, набором разрозненных нехитрых правил, позволявших людям удовлетворять повседневные запросы: составлять календари, назначать сроки проведения сельскохозяйственных работ, вести торговлю. Открытые методом проб и ошибок, на основе опыта и наблюдений, многие из этих правил были верны лишь приближенно. О математике догреческих цивилизаций в лучшем случае можно сказать, что она в известной мере продемонстрировала мощь, если не строгость, мышления и проявила больше упорства, чем блеска. Математику такого рода принято называть эмпирической. Эмпирическая математика египтян и вавилонян стала прелюдией к тому, что создали греки.
Хотя греческая культура не была полностью свободной от внешних влияний (греческие мыслители, совершая путешествия в Египет и Вавилон, знакомились там с достижениями местной науки) и хотя математике в современном смысле этого слова (даже в столь благоприятной интеллектуальной атмосфере древней Греции) еще предстояло пройти период созревания, то, что создали греки, значительно отличалось от того, что они по крупицам собрали из опыта своих предшественников.
Провозгласив своей целью поиск математических истин, греки не могли опираться на грубые, эмпирические, ограниченные, несвязные и во многих случаях приблизительные результаты, накопленные до них главным образом египтянами и вавилонянами. Сама математика, основные факты о числах и фигурах, должна была стать сводом абсолютных истин — и математические рассуждения, направленные на постижение истин о физических явлениях, например о движениях небесных тел, должны были приводить к неоспоримым результатам. Высокие цели намечены, но как их достичь?
Первый принцип, которого неуклонно придерживались греки, состоял в том, что математика должна иметь дело с абстракциями. Для философов, творцов греческой математики, носителями истины могли быть лишь перманентные, неизменяемые сущности и отношения. К счастью, человеческий разум, работу которого стимулируют наши органы чувств, может подняться до более высоких концепций — идей, вечных реалий и истинных объектов мышления. Предпочтение, отдаваемое греками абстракции, имело под собой и другую причину. Чтобы обрести мощь, математика должна охватывать в едином абстрактном понятии существенные черты всех физических реализаций этого понятия. Так, математическая прямая должна отражать наиболее существенные особенности натянутых нитей, краев линеек, границ сельскохозяйственных угодий и траекторий лучей света. Математическая прямая не должна, следовательно, иметь толщину, цвет, молекулярную структуру или испытывать натяжение. Греки вполне отчетливо и явно утверждали, что их математика имеет дело с абстракциями. В «Государстве» Платон говорит о геометрах следующее:
