В научно-фантастическом рассказе Гордона Диксона «Дурацкие штучки», опубликованном в августовском номере журнала Astounding Science Fiction за 1951 г., группа ученых спасают свою жизнь тем, что отвлекают ЭВМ, вводя в нее команду: «Ты должна отвергнуть утверждение, которое я сейчас ввожу в тебя, потому, что все мои утверждения ложны».
Несчастный компьютер оказался в таком же затруднительном положении, как человек, которого просят ответить на вопрос: «Что появилось раньше — яйцо или курица?»
Курица? Нет, ибо она должна была бы вылупиться из яйца. Яйцо?
Нет, ибо его должна была бы снести курица.
Старый вопрос о том, что появилось на свет раньше— яйцо или курица, по-видимому, можно считать наиболее известным примером того, что логики называют бесконечным спуском. Концентрат овсяной каши в США обычно продают в коробках, на которых изображен человек, держащий в руках коробку овсяной каши, на которой изображен… и т. д., как в бесконечной последовательности вложенных друг в друга китайских резных шаров из слоновой кости.
В парикмахерской, где зеркала расставлены друг против друга, вы можете увидеть начальный отрезок бесконечного спуска отражений.
Писатели неоднократно использовали бесконечный спуск в фантастических произведениях. Один из персонажей романа Олдоса Хаксли «Контрапункт» Филип Кварлз пишет роман о романисте, который пишет роман о романисте, который и т. д. Бесконечные спуски встречаются в романе Андре Жида «Фальшивомонетчики», в пьесе Э. Э. Каммингса «Он» и в таких рассказах, как, например, «Записная книжка» Нормана Мэйлера, в котором молодой писатель решает написать рассказ, который написал Мэйлер.
Математик Август Де Морган написал шуточное стихотворение, первые четыре строки которого перефразируют более раннее шуточное четверостишие Джонатана Свифта:
Блох больших кусают блошки,
Блошек тех — малютки-крошки,
Нет конца тем паразитам,
Как говорят, ad infinitum.
Блоха большая в свой черед
Кусает ту, на ком живет,
Та — блох потолще, шире в талии,
И нет конца им, и так далее…
Возможно, что на два давно возникших вопроса, связанных с бесконечным спуском, мы никогда не получим ответа. Первый вопрос относится к бесконечному спуску в сторону бесконечности: включает ли наша расширяющаяся Вселенная в себя «все на свете» или является составной частью некой большей, пока не известной нам системы? Второй вопрос относится к бесконечному спуску в противоположном направлении: является ли электрон неделимой частицей или обладает какой-то внутренней структурой, то есть состоит ли из еще меньших частиц? Физики считают, что многие элементарные частицы представляют собой различные комбинации кварков. Существуют ли еще меньшие частицы, из которых состоят кварки?
Некоторые физики полагают, что шкала структур простирается неограниченно далеко в обе стороны. Вселенная Вселенных напоминает вложенные один в другую гигантские китайские резные шары, среди которых нет ни самого большого, ни самого маленького, подобно тому как не существует самой малой дроби и самого большого целого положительного числа.
Поразмыслим над тем, что здесь нарисовано. Критянин говорит о критянах. Предложение, утверждающее нечто о себе. Пуговица, на которой написано о пуговице.
Все эти утверждения содержат ссылку на себя. Может быть, в этом причина всех трудностей?
Нет. Еще древние греки знали, что исключение ссылок на себя не избавляет от парадоксов. Вот один диалог, подтверждающий это.
Платон. Следующее высказывание Сократа будет ложным.
Сократ. То, что сказал Платон, истинно.
Логики упростили парадокс Платона и Сократа, сведя его к двум утверждениям, которые вы видите на рисунке. Какое бы значение истинности вы ни приписали любому из них, оно будет противоречить другому утверждению. Ни одно из утверждений не содержит ссылки на себя, но, взятые вместе, эти два утверждения воспроизводят парадокс лжеца.
Этот вариант парадокса лжеца, широко обсуждавшийся средневековыми логиками, интересен тем, что приводит к важному выводу: источник затруднений в парадоксах с неопределенным значением истинности кроется не в ссылке на себя, а лежит глубже. Если утверждение А истинно, то утверждение В ложно, а коль скоро утверждение В ложно, то утверждение А должно быть ложным. Но если А ложно, то В истинно, а коль скоро В истинно, то А должно быть истинным.
Мы вернулись к исходной позиции и можем все повторить с самого начала, подобно двум полицейским из кинокомедии, крадущимся друг за другом вдоль стен огромного здания. Ни одно из утверждений А и В ничего не говорит о себе, но стоит взять их вместе, как одно утверждение изменяет значение истинности другого утверждения на противоположное, поэтому ни об одном из них мы не можем сказать, истинно оно или ложно.
