Рассмотрим утверждение парадокса лжеца «Это утверждение ложно». В переводе на теоретико-множественный язык оно звучит так: «Это утверждение есть элемент множества всех ложных утверждений».
Если «это» утверждение действительно принадлежит множеству всех ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, — правда и, следовательно, оно не может принадлежать множеству всех ложных утверждений.
Если же утверждение парадокса лжеца не принадлежит множеству ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, — неправда и, следовательно, оно должно принадлежать множеству всех ложных утверждений.
У каждого семантического парадокса существует теоретико-множественный аналог, а у каждого теоретико-множественного парадокса существует семантический аналог.
Чтобы разрешить семантические парадоксы, используют специальный прием — так называемые метаязыки. Утверждения об окружающем мире, например «Яблоки красные» или «Яблоки синие», делаются на объектном языке. Утверждения об истинностных значениях следует делать на метаязыке.
В этом примере никакого парадокса нет и не может быть, так как утверждение А, записанное, по предположению, на метаязыке, относится к значению истинности утверждения В, записанного на объектном языке.
А каким образом мы могли бы говорить о значениях истинности утверждений, записанных на метаязыке? Для этого нам пришлось бы подняться на еще одну ступень и ввести метаязык. Каждая ступень бесконечной лестницы является метаязыком по отношению к предыдущей ступени (расположенной ниже) и объектным языком по отношению к следующей ступени (расположенной выше).
Понятие «метаязык» было введено польским математиком Альфредом Тарским. На нижней ступени лестницы находятся утверждения об объектах, например «У Марса две луны». Такие слова, как «истина» и «ложь», не входят в язык низшей ступени. Чтобы говорить об истинности или ложности утверждений, высказанных на языке низшей степени, мы должны воспользоваться метаязыком — следующей, более высокой ступенью лестницы. Метаязык включает в себя весь объектный язык, но не исчерпывается им. Метаязык «богаче» объектного языка, поскольку позволяет говорить об истинности и ложности утверждений, записанных на объектном языке. Любимый пример Тарского: «Снег белый» — утверждение из объектного языка, «Утверждение «Снег белый» истинно» — утверждение из метаязыка.
Можно ли говорить об истинности или ложности утверждений из метаязыка? Можно, но лишь поднявшись на третью ступень лестницы и говоря на более высоком метаязыке, позволяющем высказывать утверждения об истинности или ложности утверждений всех языков более низких ступеней.
Каждая ступень лестницы является объектным языком по отношению к ступени, расположенной непосредственно над ней. Каждая ступень, за исключением самой нижней, является метаязыком по отношению к ступени, расположенной непосредственно под ней. Лестница простирается вверх сколь угодно далеко.
Примеры утверждений на языках первых четырех ступеней.
A. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
B. Утверждение А истинно.
C. Утверждение В истинно.
D. Утверждение С истинно.
Язык на уровне А позволяет формулировать теоремы о геометрических объектах. Геометрический текст, содержащий доказательства теорем, написан на метаязыке уровня В. Книги по теории доказательств написаны на языке уровня С. К счастью, математикам редко приходится подниматься выше уровня С.
Теоретическая нескончаемость, или бесконечность, лестницы в занимательной форме рассмотрена в статье Льюиса Кэрролла «Что черепаха сказала Ахиллу»[4]
Бесконечная иерархия, аналогичная лестнице метаязыков, позволяет избавиться от теоретико-множественных парадоксов. Ни одно множество не может быть членом самого себя или любого множества более низкого типа. Брадобрей, астролог, робот и каталог просто не существуют.
У лестницы метаязыков Тарского существует теоретико-множественный аналог — теория типов Бертрана Рассела. Не вдаваясь в технические подробности, можно сказать, что эта теория, устанавливая среди множеств иерархию по типам, исключает высказывания о принадлежности или непринадлежности множества самому себе. Тем самым исключаются противоречивые множества. Они просто-напросто вычеркиваются из системы. Если вы неукоснительно следуете правилам теории типов, то у вас нет разумного способа определить эти множества, чреватые противоречиями. Ситуация, возникающая при этом в теории множеств, аналогична той, с которой мы сталкиваемся в семантике, когда утверждаем, что такие утверждения, как парадокс лжеца, просто «не являются утверждениями», поскольку не соответствуют правилам построения «законных» утверждений.
Не один год понадобился Бертрану Расселу, чтобы разработать теорию типов. Вот что он пишет в книге «Мое философское развитие»:
Закончив «Принципы математики», я предпринял решительную попытку найти решение парадоксов. Их существование я рассматривал почти как личный вызов и, если потребовалось бы, посвятил бы всю оставшуюся жизнь попыткам разрешить их. Однако по двум причинам такая приверженность идее избавления от парадоксов казалась мне нежелательной. Во-первых, вся проблема представлялась мне тривиальной… Во-вторых, сколько я ни пытался, мне не удавалось ни на шаг продвинуться в ее решении. Почти все 1903 и 1904 гг. ушли на борьбу с парадоксами, но без сколько-нибудь ощутимых признаков успеха.
