Что представляет собой волновая функция свободной частицы с некоторым заданным значением импульса p? Вспомним, что волновая функция связана с вероятностью обнаружить частицу в некоторой области пространства. На рис. 6.1 представлен график волновой функции для свободной частицы с импульсом p. Как говорилось выше, длина волны связанной с этой частицей волновой функции равна λ=h/p. Из рисунка видно, что волновая функция свободной частицы представляется двумя волнами, которые называются действительной и мнимой компонентами волновой функции.
Рис. 6.1.Волновая функция свободной частицы с импульсом p, которая имеет длину волны λ=h/p. Квантовомеханическая волновая функция имеет две части, которые называются действительной и мнимой. Эти волны имеют одинаковую длину. Они лишь смещены одна относительно другой на четверть длины волны, что эквивалентно сдвигу на 90° по фазе. Эти две компоненты отделены друг от друга. Они не интерферируют ни конструктивно, ни деструктивно. Для свободной частицы с чётко определённым значением импульса p волновая функция простирается от плюс бесконечности до минус бесконечности (от +∞ до −∞)
Эти компоненты равноценны. Слово «мнимая» — это просто математический термин. Его не следует понимать так, будто мнимая компонента в каком-либо смысле менее важна, чем компонента, называемая действительной. Это просто такой жаргон для обозначения двух компонент, различающихся по своему математическому представлению. Действительная и мнимая компоненты волновой функции имеют одинаковую длину волны, но смещены на одну четверть длины волны. Это означает, что одна волна сдвинута по фазе относительно другой на 90°. Эти две компоненты волновой функции не интерферируют друг с другом ни конструктивно, ни деструктивно, поскольку и в математическом смысле, и по сути они перпендикулярны друг другу.
Важная особенность волновой функции, показанной на рис. 6.1, состоит в том, что она тянется от плюс бесконечности до минус бесконечности (от +∞ до −∞). На рис. 6.1 видна лишь малая часть волновой функции в небольшой области пространства, поскольку на конечном листе бумаги нельзя изобразить график от +∞ до −∞. Волновая функция, представленная на этом рисунке, просто продолжается без изменений вправо и влево. Это означает, что квантовомеханическую частицу с чётко определённым значением импульса p мы с равной вероятностью найдём в любом месте вдоль оси x — горизонтальной оси на этом графике. По вертикальной оси отложена амплитуда вероятности обнаружить частицу в том или ином месте. Обе компоненты — действительная (пунктирная кривая) и мнимая (сплошная кривая) колеблются между положительными и отрицательными значениями. У обеих есть места, где они обращаются в нуль.
Тот факт, что волновая функция колеблется между положительными и отрицательными значениями, не важен. Для квантовомеханического объяснения интерференции фотона на рис. 5.1 была введена борновская интерпретация волновой функции. Согласно этой интерпретации, вероятность обнаружить частицу в некоторой области пространства равна квадрату абсолютной величины волновой функции в этой области пространства. Возведённая в квадрат волновая функция может приобретать только положительные значения, точно так же как 22=4 и (−2)2=4, поскольку минус на минус даёт плюс. Обратите внимание, что на рис. 6.1, когда одна из двух волн обращается в нуль, другая волна находится на положительном или отрицательном максимуме. Когда одна волна мала, другая — велика. Когда волновая функция анализируется математически, то, как это видно из графика, абсолютная величина квадрата волновой функции оказывается одинаковой во всех точках оси x.
Абсолютная величина квадрата волновой функции для свободной частицы одинакова вдоль всей оси x — от +∞ до −∞. Таким образом, вероятность обнаружить частицу в любом месте пространства одинакова. Частица с одинаковой вероятностью найдётся в точке x=10, в точке x=−1000000 или где угодно ещё. Представьте себя крошечным созданием, которое часто называют демоном Максвелла. Вы стоите рядом с частицей-волной, изображённой на рис. 6.1. Вы пытаетесь схватить частицу. С некоторой вероятностью она окажется у вас в руках. Если вы станете делать это снова и снова, то в зависимости от размеров вашей руки вы сможете в конце концов поймать частицу. При этом каждый раз вам придётся начинать её ловлю заново. Если вы переместитесь вдоль волны в другое место и повторите попытку, вероятность поймать частицу не изменится. Именно в этом состоит смысл одинаковой вероятности обнаружить частицу где угодно. Для демона Максвелла нет предпочтительного места ловли частицы. Все места равноценны.
Этот образ свободной частицы, которая описывается волновой функцией, задающей равную вероятность обнаружить частицу в любом месте, не очень-то согласуется с нашим классическим представлением о частицах. На рис. 2.5 показана классическая частица, обладающая в заданный момент времени определённым значением импульса и положением. Обсуждая фотоэлектрический эффект (см. рис. 4.3), Эйнштейн описывал свет как фотоны, которые являются квантами света. Один фотон «выбивает» один электрон, и этот электрон вылетает из куска металла. Это описание выглядит так, как будто и фотон и электрон являются частицами в понимании классической механики. Однако при обсуждении интерференции фотонов (см. рис. 5.1) потребовалось использовать интерпретацию Борна и описывать фотоны как волны амплитуды вероятности, когда половина вероятности приходится на каждое плечо интерферометра. На рис. 6.1 график волновой функции свободной частицы полностью делокализован, то есть растянут на всё пространство. Это описание одинаково как для фотона, так и для электрона.
Так что же представляют собой фотоны, электроны, камни и всё остальное? Это частицы или волны? Чтобы убедиться в отсутствии противоречий в квантовомеханическом описании природы вещей, нам надо подробнее обсудить волны и их интерференцию. Обсуждая рис. 3.2 и 3.3, мы уже говорили о том, что волны могут интерферировать конструктивно, давая более крупную волну, и деструктивно — так, что получается волна меньшего размера или волны полностью гасят друг друга. В примерах, представленных на рис. 3.2 и 3.3, волны имеют одинаковую длину. Когда они складываются конструктивно (см. рис. 3.2), все положительные пики одной волны приходятся на положительные пики другой, и то же самое относится к отрицательным пикам, так что в результате их амплитуда увеличивается. Когда волны складываются деструктивно (см. рис. 3.3), положительные пики приходятся на отрицательные и наоборот, что приводит к их гашению. Однако волны разной длины тоже могут интерферировать.
На рис. 6.2 изображены графики пяти волн разной длины. Единицы измерения длины здесь не имеют значения. Важно то, что эти пять волн имеют длины λ, равные 1,2; 1,1; 1,0; 0,9 и 0,8. Фазы этих волн подогнаны так, чтобы они совпадали в точке x=0, где x — горизонтальная ось. Волны совпадают в точке x=0 в том смысле, что все они имеют в этом месте положительный пик. Однако поскольку волны имеют разную длину, их пики не обязательно будут совпадать в других точках вдоль оси x. Например, вблизи точек x=10 и −10 тёмно-серая волна имеет максимум, а светло-серая пунктирная — минимум. Вдобавок около точки x=10 одна волна имеет отрицательное значение, а другая — положительное. В окрестностях x=16 и −16 две волны имеют максимум, а одна волна — минимум. Важный момент здесь состоит в том, что при разной длине все волны могут совпадать в одной точке (x=0, например), но в общем случае, в других точках, одни волны будут положительными, а другие — отрицательными.
