В этой связи нельзя не вспомнить одну довольно старую головоломку. Стакан воды стоит рядом со стаканом вина. Жидкости в каждый стакан налито поровну. Возьмем каплю вина и, добавив в стакан с водой, тщательно перемешаем. Затем каплю смеси такого же размера, как и капля вина, перенесем в стакан с вином. Чего теперь больше: воды в стакане с вином или вина в стакане с водой?
Жидкости в двух стаканах после обмена каплями осталось поровну. Впрочем, ответ не изменился бы, если бы воды было больше (или меньше), чем вина, а также если бы после добавления первой капли смесь не была бы тщательно перемешана. Кроме того, могли бы переносить из стакана в стакан капли не обязательно одинакового размера. Единственное условие, которое должно соблюдаться неукоснительно: после всех переливаний жидкости в каждом стакане должно быть ровно столько, сколько было в самом начале. Тогда убыль вина может быть восполнена только равным количеством воды, а убыль воды — равным количеством вина! Следовательно, после всех переливаний воды в стакане с вином окажется столько же, сколько вина в стакане с водой.
Доказывается это так же, как мы доказывали, что юношей в автобусе для девушек столько же, сколько девушек в автобусе для юношей или что красных карт в черной стопке столько же, сколько черных карт в красной стопке.
Головоломка с водой в вине и вином в воде — замечательный пример задачи, поддающейся решению путем громоздких вычислений, но при надлежащем подходе легко решаемой с помощью простых логических соображений.
В магазине граммпластинок 30 старых пластинок продавались по 1 доллару за 2 пластинки, а 30 других пластинок — по 1 доллару за 3 пластинки. К концу дня все 60 пластинок были распроданы.
30 пластинок по 1 доллару за 2 пластинки проданы за 15 долларов, 30 пластинок по 1 доллару за 3 пластинки проданы за 10 долларов. Итого — 25 долларов.
На следующий день управляющий магазином выставил на продажу еще 60 пластинок.
Продавец. Зачем доставлять себе лишние заботы и сортировать пластинки? Ведь если 30 пластинок идут по цене 1 доллар за 2 пластинки и 30 пластинок — по цене 1 доллар за 3 пластинки, то почему бы не продавать все 60 пластинок по цене 2 доллара за 5 пластинок? Ведь это то же самое!
К закрытию магазина все 60 пластинок были распроданы по 1 доллару за 5 пластинок. Подсчитывая дневную выручку, управляющий магазином с удивлением обнаружил, что она составляет не 25 долларов, а всего лишь 24 доллара.
Как вы думаете, куда пропал недостающий доллар? Может быть, его похитил нечистый на руку продавец? А может бить, кому-нибудь дали сдачу на 1 доллар больше, чем следовало?
Отчего образовалась недостача? Виной всему нерадивый продавец, ошибочно решивший, будто выручка от продажи 60 пластинок по 2 доллара за 5 пластинок такая же, как от продажи 30 пластинок по 1 доллару за 2 пластинки и 30 пластинок по 1 доллару за 3 пластинки. Никаких оснований для подобного заключения у него не было. Разница в выручке в обоих случаях невелика — всего 1 доллар, поэтому и создается впечатление, будто недостающий доллар затерялся или его отдали по ошибке, неверно сосчитав сдачу, причитающуюся кому-то из покупателей.
Рассмотрим ту же задачу с несколько иными параметрами. Предположим, что 30 более дорогих пластинок поступило в продажу по 2 доллара за 3 пластинки, или по 2/3 доллара за 1 пластинку, а 30 менее дорогих пластинок продавались по 1 доллару за 2 пластинки, или по 1/2 доллара за пластинку. Что произойдет, если управляющий вздумает продать все 60 пластинок по 3 доллара за 5 пластинок? Если выручка от продажи двух партий по 30 пластинок составляла 35 долларов, то выручка от продажи одной партии из 60 пластинок составит 36 долларов.
Вместо недостачи выручка возросла бы на 1 доллар!
В действиях продавца не было злого умысла, но, как показывает арифметика, он добросовестно заблуждался: число пластинок в наборе и цены нельзя усреднять так, как это предлагал делать он. Допущенную им ошибку можно проанализировать алгебраически, но, для того чтобы убедить вас в недопустимости подобного усреднения, достаточно одного наглядного примера.
Предположим, что у владельца салона по продаж же автомашин имеется 6 «роллс-ройсов» и 6 — «фольксвагенов». Он просит 100000 долларов за 2 «роллс-ройса» и 50 000 долларов за 6 «фольксвагенов».
От продажи всех 12 машин владелец салона выручил бы 350 000 долларов. В среднем на 1 сделку приходятся 4 машины, а средняя выручка от 2 сделок составляет 75 000 долларов. Если бы владелец салона вздумал продавать все машины партиями по 4 машины за 75 000 долларов, то, распродав все 12 машин, он выручил бы только 225 000 долларов. Кроме того, покупатель заведомо предпочел бы выложить 75 000 долларов за 4 «роллс-ройса», оставив владельцу 8 «фольксвагенов» с явно завышенной ценой. Вот, пожалуй, и все, что мы хотели бы сказать по поводу ошибки продавца граммпластинок.
Начертите на листе бумаги эту матрицу 4х4 и перенумеруйте ее клетки числами от 1 до 16. Как вы сейчас убедитесь, я умею читать ваши мысли.
Обведите кружком любое число в матрице по своему усмотрению.
На рисунке обведено число 7, но вы можете выбрать другое число. Вычеркните все числа, которые стоят в одном столбце и в одной строке с обведенным числом.
Обведите кружком любое из невычеркнутых чисел и вычеркните числа, стоящие с ним в одной строке и в одном столбце. Обведите кружком любое из оставшихся чисел и вычеркните те числа, которые стоят с ним в одной строке в в одном столбце. Наконец обведите кружком единственное оставшееся число.
Если вы все сделали правильно, то ваша матрица выглядит примерно так, как показано на рисунке. Сложите числа, обведенные кружками. Как вы их выбирали, мне не известно.
Готово? А теперь я назову вам их сумму. У вас получилось число… минуточку!.. 34. Правильно? Как я отгадал» сколько у вас получилось? Может быть, я действительно умею читать ваши мысли?
Почему начерченная нами матрица заставляет вас всегда выбирать четыре числа, дающие в сумме 34? Секрет этой матрицы прост и изящен. Над каждым столбцом матрицы 4х4 выпишем числа 1, 2, 3, 4, а слева от каждой строки выпишем числа 0, 4, 8, 12;
Эти 8 чисел называются генераторами, или образующими, магической матрицы. В каждую клетку впишем число, равное сумме двух генераторов, стоящих у той строки и того столбца, на пересечении которых расположена клетка. Вписав все числа, мы получим матрицу, клетки которой перенумерованы по порядку числами от 1 до 16:
