S1/2mv2
по всем частицам тела. Но скорость v каждой частицы связана с угловой скоростью wтвердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем считать покоящимся. Если при этом r — положение частицы относительно центра масс, то ее скорость v задается выражением wXr. Поэтому полная кинетическая энергия равна
к. э.=S1/2m(wX г)2. (31.18)
Единственное, что нужно теперь сделать,— это переписать wXr через компоненты wх, wy , wz и координаты х, у, z, а затем сравнить результат с уравнением (31.17); приравнивая коэффициенты, найдем Iij. Проделывая всю эту алгебру, мы пишем:
Умножая это уравнение на m/2, суммируя по всем частицам и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что Ixx, например, равно
Это и есть та формула для момента инерции тела относительно оси х, которую мы получали уже раньше (гл. 19, вып. 2).
Ну а поскольку r2 =x2+y2+z2, то эту же формулу можно написать в виде
Ixx=Sm(r2-x2). Выписав остальные члены тензора инерции, получим
Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначениях»:
где через ri обозначены компоненты (х, у, z) вектора положения частицы, а 2 означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения L с угловой скоростью w:
Для любого тела независимо от его формы можно найти эллипсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относительно этих осей тензор будет диагональным, так что для любого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.
§ 5. Векторное произведение
Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (вып. 2). В самом деле, мы определили там «момент силы, действующий в плоскости», например txy, следующим образом:
txy=xFy-yFx.
Обобщая это определение на три измерения, можно написать
tij=riFj-rjFi. (31.22)
Как видите, величина tij — это тензор второго ранга. Один из способов убедиться в этом — свернуть tij с каким-то вектором, скажем с единичным вектором е, т. е. составить
Если эта величина окажется вектором, то tijдолжен преобразовываться как тензор — это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для tij, получаем
Поскольку скалярные произведения, естественно, являются скалярами, то оба слагаемых в правой части — векторы, как и их разность. Так что tij-— действительно тензор.
Однако tijпринадлежит к особому сорту тензоров, он антисимметричен, т. е.
tij=-tji.
Поэтому у такого тензора есть только три разные и неравные нулю компоненты: txy, tyz и tzz. В гл. 20 (вып. 2) нам удалось показать, что эти три члена почти «по счастливой случайности» преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор
t=(tx,. ty, tz) = (tyz, tzx, txy).
Я сказал «по случайности» потому, что это происходит только в трехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть различных ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменить вектором, у которого компонент только четыре.
Точно так же как аксиальный вектор t==rXF является тензором, по тем же соображениям тензором будет и любое векторное произведение двух полярных векторов. К счастью, они тоже представимы в виде вектора (точнее, псевдовектора), что немного облегчает нам всю математику.
Вообще говоря, для любых двух векторов а и b девять величин aibjобразуют тензор (хотя для физических целей он не всегда может быть полезен). Таким образом, для вектора положения r величины rirjявляются тензором, а поскольку dij. тоже тензор, то мы видим, что правая часть (31.20) действительно является тензором. Подобным же образом тензором будет и (31.22), так как оба члена в правой части — тензоры.
§ 6. Тензор напряжений
Встречавшиеся до сих пор симметричные тензоры возникали как коэффициенты, связывающие один вектор с другим. Сейчас я познакомлю вас с тензором, имеющим совершенно другой физический смысл,— это тензор напряжений. Предположим, что на твердое тело действуют различные внешние силы. Мы говорим, что внутри тела возникают различные «напряжения», имея при этом в виду внутренние силы между смежными частями материала. Мы уже говорили немного о подобных напряжениях в двумерном случае, когда рассматривали поверхностное натяжение напряженной диафрагмы (см. гл. 12, § 3, вып. 5). А теперь вы увидите, что внутренние силы в материале трехмерного тела записываются в виде тензора.
