Любая плоская фигура, обладающая по крайней мере одной осью симметрии, считается симметричной, поскольку ее можно всеми точками наложить на зеркальное изображение. Математикам известны и многие другие виды симметрии (о некоторых из них пойдет речь в гл. 2), но в этой книге мы постоянно будем иметь дело только с симметрией отражения. Называя фигуру «симметричной» (независимо от числа измерений), мы всегда будем иметь в виду только одно: эта фигура идентична своему зеркальному изображению, то есть ее можно наложить на зеркальное изображение, не прибегая к поворотам в пространстве более высокой размерности.
Легко привести примеры и асимметричных плоских фигур. Так, например, фигуры, изображенные на рис. 8, не могут быть соединены со своими зеркальными изображениями. Если вы попытаетесь провести через центр любой из этих фигур линию, которая делила бы фигуру на зеркальные половинки, вы убедитесь, что сделать этого невозможно. Как бы вы ни приставляли зеркало, отражаемая часть вместе с отражением не образует первоначальной фигуры. По этой причине каждую асимметричную фигуру можно рисовать на плоскости двумя способами.
Некоторые заглавные буквы в алфавитах симметричны, а некоторые нет. Вот первое из упражнений, предлагаемых в этой книге (все упражнения перенумерованы и ответы приведены в конце книги):
Упражнение 1. Какие из заглавных букв русского алфавита асимметричны, а какие нет?
Попробуйте ответить на этот вопрос, не пользуясь зеркалом. Помните, что буква симметрична, если можно выбрать по крайней мере одну такую прямую, чтобы она делила букву на зеркальные половинки. Если такой оси симметрии нет, то буква асимметрична. Напечатайте на листке симметричные буквы и поднесите его к зеркалу. Когда буквы выбраны правильно, то всегда можно повернуть листок так, чтобы буквы в зеркале не отличались от обычных. Чтобы добиться этого, для разных букв листок придется поворачивать по-разному, потому что направления осей симметрии у разных букв не всегда совпадают. Буква «А», например, имеет вертикальную ось симметрии. Она не изменится в зеркале, если поднести к нему листок прямо, не поворачивая. Однако у «В» ось симметрии горизонтальная. Поначалу покажется, что отражение существенно отличается от самой буквы, но поверните листок—и вы увидите в зеркале обычное «В». Проверив в зеркале все буквы, которые вы сочтете симметричными, попробуйте провести для каждой из них все ее оси симметрии. Вам удастся это сделать для всех букв, кроме «О». Если рисовать «О» в виде эллипса, осей будет всего две, но мы нарисовали ее кружком — в этом случае число осей симметрии бесконечно.
Теперь поднесите к зеркалу листок с асимметричными буквами. Если они выбраны правильно, то, как бы вы ни вертели листок, ни одна из этих букв не будет выглядеть в зеркале «как настоящая». Все отражения асимметричных букв «получаются не такими». Рассмотрите эти буквы, и вы убедитесь, что для них невозможно провести оси симметрии. То, что свойства симметрии меняются от буквы к букве, дает возможность проделать ряд забавных фокусов с отражением слов в зеркале, но прежде чем рассказать о них (это будет сделано в гл. 4), мы должны посвятить следующую главу рассмотрению симметрии и асимметрии фигур в 3-пространстве, в том трехмерном мире, где живем мы сами.
В 3-пространстве, так же как в 1-пространстве и 2-пространстве, все фигуры можно разбить на две группы: симметричные и асимметричные. Симметричные пространственные фигуры можно наложить точка за точкой на их зеркальные изображения. С асимметричными пространственными фигурами этого сделать нельзя. Симметричные фигуры в 1-пространстве, если вы помните, имеют точку (центр) симметрии; симметричные фигуры в 2-пространстве имеют ось симметрии — линию. Как и следовало ожидать, симметричные фигуры в 3-пространстве имеют так называемую плоскость симметрии.
Поясним это утверждение несколькими примерами. Сфера — пространственная фигура, которая, очевидно, полностью сходна со своим зеркальным изображением. Как круг можно рассечь бесчисленным множеством прямых линий, каждая из которых делит его на две зеркальные половинки, так и через центр сферы можно провести бесконечное число плоскостей. Если представлять себе плоскость симметрии как зеркало, то полусфера вместе со своим отражением в зеркале образует фигуру, совпадающую с исходной сферой. Представьте себе разрезанный пополам шарик для настольного тенниса. Если одну из половинок прижать к зеркалу линией разреза, то эта половинка вместе с отражением будет выглядеть как целый шарик. Сфера — не единственная трехмерная фигура, обладающая бесконечным числом плоскостей симметрии. Цилиндрическая сигарета, например, имеет бесконечное множество таких плоскостей, проходящих через ось сигареты плюс еще одна плоскость, которая проходит через центр сигареты и перпендикулярна ее оси. У конусообразного стаканчика с мороженым через ось тоже можно провести бесчисленное множество плоскостей симметрии, но плоскости симметрии, перпендикулярной оси конуса, нет. Чтобы быть симметричным, трехмерный объект должен иметь по крайней мере одну плоскость симметрии, хотя таких плоскостей он может иметь сколько угодно. У пирамиды Хеопса четыре плоскости симметрии. У кирпича — три. У стола с прямоугольной крышкой — две, а у стула или кофейной чашки только по одной. Если распилить чашку на две половинки вдоль плоскости симметрии и любую из полученных половинок прижать к зеркалу, «получится» целая чашка — в этом и заключается, конечно, смысл понятия «плоскость симметрии». Плоскость симметрии чашки наталкивает на каверзный вопрос: где у чашки ручка — слева или справа?
На рис. 10 изображены шесть трехмерных тел. У всех, кроме куба, проведены плоскости симметрии. Изучите изображение куба внимательно и попытайтесь ответить на такой вопрос:
Упражнение 2. Сколько плоскостей симметрии у куба?
Для совмещения симметричного трехмерного предмета со своим зеркальным изображением может потребоваться поворот в 3-пространстве. Предположим, вы подносите к зеркалу конический стаканчик с мороженым. Если держать его, как показано на рис. 11 слева, чтобы плоскость зеркала была параллельна одной из плоскостей симметрии конуса, то можно совместить предмет с изображением, просто сдвинув их вместе. Но если конус направлен вершиной в сторону зеркала (правая часть рис. 11), то в этом случае, как говорят, предмет и отражение будут иметь разную ориентацию в 3-пространстве. Для того чтобы совместить эти две фигуры, одну из них необходимо повернуть так, чтобы оба конуса были сориентированы одинаково. В данном случае сферу вращать никогда не придется, потому что плоскость зеркала всегда будет параллельна одной из бесчисленного множества плоскостей симметрии сферы.
У асимметричных пространственных объектов нет ни одной плоскости симметрии; их никогда нельзя совместить с отражением в зеркале независимо от ориентации — это, например, всем известные спиральная пружина и винтовая лестница. Точно так же, как спираль является асимметричной фигурой в плоскости, пружина — трехмерная спираль — асимметрична в 3-пространстве. Как ни пытайтесь, вам не удастся плоскостью рассечь пружину на две зеркально симметричные половинки. Поднесите пружину к зеркалу. Как бы вы ее ни поворачивали, в зеркале она всегда «получается не такой».
Каждая асимметричная фигура имеет зеркального двойника, который во всех деталях совпадает с ней — только «получается не такой». Две асимметричные фигуры, являющиеся зеркальным изображением одна другой, называются энантиоморфами. Каждая из них энантиоморфна другой. Знакомый пример пары энантиоморфов — ваши собственные руки. Посмотрите на них, сблизив ладони, и увидите, что одна — зеркальное отражение другой. Этот пример стал таким обыденным, что любые энантиоморфы различают, называя одни из них «правыми», а другие «левыми». Пара перчаток, ботинок или ваши уши — все это энантиоморфы.
