Если составная часть какого-нибудь предмета включает винт или пружину, то он асимметричен; и штопор, и винт, и гайка, все что с винтовой резьбой, асимметричны. Винты обычно делают так, что они ввинчиваются при вращении их по часовой стрелке. Про такие винты говорят, что они с правой резьбой. Для специальных целей изготовляются и винты с левой резьбой. В автомобилях, например, шпильки и гайки, которыми крепятся колеса, с одной стороны автомобиля имеют правую резьбу, а с другой — левую. (Это сделано потому, что при вращении колес гайки по обе стороны автомобиля стремятся раскручиваться.) Разная резьба не дает возможности резьбовому соединению разболтаться. Цоколи электрических лампочек, которые вы покупаете в магазине, имеют правую резьбу, но лампочки, которые до недавнего времени можно было видеть в вагонах нью-йоркского метро, имели левую резьбу! Это была мера против тех, кто выкручивал их и брал себе домой. (Теперь вместо ламп накаливания в метро употребляются лампы дневного света, они вставляются в специальные зажимы.) А слыхали ли вы когда-нибудь о левом штопоре? Попробуйте сделать такой и подшутить над кем-нибудь. Дайте его тому, кто хочет открыть бутылку, и посмотрите, скоро ли он сообразит, почему у него ничего не получается! Если же вращать такой штопор против часовой стрелки, он, конечно, ввернется в пробку не хуже всякого другого.
Упражнение 3. Можете ли вы сказать, почему во всем мире в основном используется правая резьба?
Посмотрите вокруг себя, и вы будете удивлены тем, сколь многие предметы, сделанные человеком, в целом симметричны, хотя бы внешне. В некоторых случаях предметы, кажущиеся симметричными на первый взгляд, при ближайшем рассмотрении таковыми не оказываются. Например, ножницы. Их лезвия могут в принципе пересекаться двумя различными способами — один зеркальное отражение другого. Большинство ножниц сделано с расчетом на то, что человек будет пользоваться ими, держа их в правой руке. Если вы не левша, то знаете, как неудобно стричь ногти на правой руке, держа ножницы в левой. Дело не только в том, что вы правша и левой рукой вам работать вообще неудобно: ножницы сделаны для пользования ими правой рукой, а вы держите их левой. Нажимать при этом на ручки так, чтобы ножницы резали как следует, очень неловко. В связи с этим выпускаются специальные ножницы для портных-левшей и вообще всех «леворуких» людей, которым часто приходится работать с ножницами.
Симметричен ли автомобиль? В общих чертах да, но, присмотревшись к деталям, например к расположению рулевого колеса, мы увидим, что это, конечно, не так. Энантиоморфом американских автомобилей являются, например, английские, которые приспособлены для левостороннего движения, поэтому руль у них справа. А симметричен ли самолет, летящий высоко в небе? Днем — да, но не ночью, когда на его левом крыле загорается зеленый огонь, а на правом — красный. Симметричен ли электрический вентилятор? Нет, потому что его лопасти вырезаны из винтовой поверхности. Если заменить их энантиоморфными лопастями, вентилятор будет гнать воздух назад, а не вперед. Винты самолетов и кораблей также асимметричны. Как вы думаете, симметричен кусок веревки? Может быть. Присмотритесь повнимательнее. Если она состоит из крученых ниток, значит, симметрия отсутствует, скрученная нитка — та же спираль, а в зеркальном отражении она будет закручиваться в другую сторону.
Упражнение 4. Какие из перечисленных ниже предметов асимметричны?
1. Хоккейная клюшка.
2. Спиннинг.
3. Машинка для точки карандашей.
4. Вилка.
5. Серп.
6. Саксофон.
7. Разводной гаечный ключ.
Лист Мёбиуса — хорошо известный топологический курьез — асимметричен. Если вы закрутите полоску бумаги на полоборота и склеите концы, то получите поверхность, у которой только одна сторона и только один край. Но это закручивание на полоборота можно сделать двояким способом — вправо или влево. Изогнете в одну сторону — получите лист Мёбиуса одного типа. Изогнете в другую — получите его энантиоморф.
Простой узел, завязанный на замкнутой веревочной петле, тоже может быть правым и левым. На рис. 12 изображена пара таких энантиоморфных узлов. Как бы вы ни старались, вам не удастся превратить узел в его зеркального близнеца. Обращали ли вы когда-нибудь внимание на то, что, скрещивая руки на груди, вы «завязываете себя» именно в такой узел? Следующий наглядный пример поможет вам понять это. Разложите перед собой на столе или дайте кому-нибудь подержать кусок веревки длиной около метра. Скрестите руки, взяв предварительно веревку за концы; теперь разъедините руки. Раньше у вас они были «завязаны узлом», теперь узел перейдет на веревку. В зависимости от того, как вы сложите руки, получится «правый» или «левый» узел. Отложите в сторону завязанный конец веревки и проделайте то же самое с другим концом, но теперь сложите руки «по-другому». Получившийся узел будет зеркальным отражением первого. Если вы проделаете все это перед зеркалом, то увидите, что ваш энантиоморф в зеркале и руки-то складывает «по-другому» и узел у него получается другой — если у вас левый, то у него правый, и наоборот.
Может быть, теперь, имея за плечами это краткое введение в теорию симметрии отражения, вы сможете ответить на вопрос, заданный в гл. 1: почему зеркало меняет местами правую и левую стороны, а не низ и верх?
Любопытно, что ответ определяется тем фактом, что наши тела, так же как и тела большинства животных, обладают только одной плоскостью симметрии. Она проходит, конечно, вертикально, через центр тела и разделяет его на две зеркальные половинки. Это справедливо только приближенно. В гл. 1 мы говорили, что в каждом лице есть незначительные асимметричные детали. Внутреннее строение тела обнаруживает, конечно, более существенную асимметрию — сердце у нас слева, аппендикс справа и т. д. (В последующих главах мы обсудим асимметрию живых существ более подробно.) Но внешне животные и люди обладают двусторонней симметрией, когда левая половина тела есть зеркальное изображение правой. Между передней и задней сторонами тела такого сходства не существует, нет его и между верхней и нижней частями. По этой причине, а также потому, что благодаря земной гравитации все предметы притягиваются вниз, мы создаем тысячи вещей (стулья, столы, комнаты, здания, автомобили, поезда, самолеты и т. д.), обладающих внешне и в среднем билатеральной симметрией. В зеркале мы видим своего двойника, стоящего посреди комнаты-двойника. Когда мы двигаем правой рукой, он двигает левой. Мы говорим, что зеркало меняет местами правую и левую стороны, лишь потому, что так нам удобнее всего обозначать различие между билатерально симметричной фигурой и ее энантиоморфом. В строгом математическом смысле зеркала «переставляют» не правую и левую, а переднюю и заднюю стороны!
Чтобы понять это, еще раз представьте себя стоящим перед зеркалом во всю стену комнаты. Вы смотрите прямо перед собой, и слева у вас запад, а справа восток. Пошевелите «западной» рукой. При этом у зеркального изображения тоже движется «западная» рука. Подмигните «восточным» глазом. Отражение тоже мигает «восточным» глазом. Голова у вас вверху, а ноги внизу. И у отражения голова вверху, а ноги внизу. Другими словами, оси восток — запад и верх — низ сохраняют свое направление в 3-пространстве. Изменяет свое направление ось вперед — назад, идущая с юга на север и перпендикулярная зеркалу. Вы стоите лицом к северу, отражение — лицом к югу. Проведите на полу мелом линию с юга на север перпендикулярно зеркалу и отметьте на ней точки, последовательно пронумеровав их с севера на юг: 1, 2, 3 и так далее до 10. В зеркале эти точки идут с севера на юг в обратном порядке: 10, 9, 8, 7 — до единицы. Говоря математически, зеркало не изменило оси слева — направо и вверх — вниз, а вот оси вперед — назад оказались направленными в противоположные стороны. Мы говорим, что зеркало меняет местами правую и левую стороны только потому, что при этом представляем самих себя стоящими за зеркалом.
Чтобы понять это яснее, скомандуйте себе «Направо!» и встаньте лицом на восток, касаясь зеркала левым плечом. Как и раньше, зеркало обращает только ось, перпендикулярную его поверхности. Когда вы так стоите, эта ось проходит у вас слева направо. Теперь вы можете сказать, что зеркало переставляет правую и левую стороны в точном геометрическом смысле, оставляя без изменения оси, направленные вперед-назад и вверх-вниз.
Представьте зеркало, вделанное в потолок или в пол. Это зеркало, как всегда, переворачивает только ту ось, которая находится под прямым углом к его поверхности. В данном случае это ось верх — низ. Это зеркало не меняет положения в пространстве правой и левой сторон или задней и передней, и вы в нем оказываетесь перевернутыми вверх ногами. Однако, представив себя стоящим на голове за зеркалом, вы заметите, что ваш двойник все-таки двигает правой рукой, когда вы двигаете левой. Хотя зеркало переставляет только верх и низ, вам как билатерально симметричному созданию по-прежнему удобно описывать зазеркальный мир, говоря, что там правое стало левым, и наоборот. Независимо от того как зеркало преобразует ваш мир, при отражении его, представив себя в таком преображенном мире, вы каждый раз видите, что правая и левая стороны у вас поменялись местами, и соответственно описываете происшедшую перемену.
